|
נקודות זכות באוניברסיטה העברית:
3
תואר:
בוגר
היחידה האקדמית שאחראית על הקורס:
מתמטיקה
סמסטר:
סמסטר ב'
שפת ההוראה:
אנגלית
קמפוס:
קרית א"י ספרא
מורה אחראי על הקורס (רכז):
אילון לינדנשטראוס
שעות קבלה של רכז הקורס:
בתיאום מראש
מורי הקורס:
פרופ אילון לינדנשטראוס
תאור כללי של הקורס:
הקורס יתאר שלוש בעיות פתוחות מפורסמות במתמטיקה, כולל רקע וכמה תוצאות בולטות הקשורות להשארה.
הקורס ינתן באנגלית
בעיות לדוגמא שיתכן וידונו בשיעור:
השערת רימן
השערת ליטלווד בקירוב דיופנטי
השערת קאקיה
מטרות הקורס:
מטרת הקורס להציג 2-3 בעיות פתוחות מפורסמות ברמה שנגישה לתלמידי תואר ראשון. תוך כדי יוצגו מושגים חשובים במתמטיקה מודרנית
תוצרי למידה :
בסיומו של קורס זה, סטודנטים יהיו מסוגלים:
בסיום הקורס תלמידים יכירו שלוש בעיות פתוחות מפורסמות. התלמידים יוצגו בפני נושאי מחקר עכשוויים ויבינו יותר טוב מהו מחקר מתמטי. כמו כן התלמידים ילמדו מושגים חשובים במתמטיקה מודרנית כמו תבניות מודולריות ושריגים
דרישות נוכחות (%):
85
שיטת ההוראה בקורס:
הוראה פרונטלית שעתים בשבוע, שיחה חופשית שעה
רשימת נושאים / תכנית הלימודים בקורס:
The problems I hope to discuss are the following:
1. **The Riemann hypothesis**. Probably the most famous problem in mathematics, and by a wide margin (P&eq;NP is arguably as famous, and possibly of more practical importance, but is somewhere between theoretical computer science and mathematics). For such a famous problem, it takes some amount of efforts to state (the usual definition of the Riemann zeta function makes sense only for $Re s > 1$!), and it is even harder to explain why it is important. I will pursue a somewhat nonstandard (or at least not standard for presentation of the Riemann hypothesis from an elementary point of view) emphasizing the connection between the Riemann hypothesis and the quotient of the hyperbolic plan $H &eq; left{ z: Im z > 0
ight}$ by the group $SL (2, )$ acting on $H$ by Mobius transformations. Some references we will use include [@Titchmarch-book, @Zagier-Eisenstein-and-Riemann, @Zagier-short-proof]
1. **The Littlewood conjecture**. This conjecture states that for every $alpha, eta in R$,
$$
liminf _ {n o infty} n sin (n alpha) sin (n eta) &eq; 0
.$$
This is a problem I worked on myself [@Einsiedler-Katok-Lindenstrauss], though we will mostly discuss a much older paper [@Cassels-Swinnerton-Dyer] that aged very well!
1. **The Kakeya conjecture**. This conjecture states that for any (say) compact subset of $R ^ d$ which contain a unit segment of a line in every direction has to have Hausdorff dimension $geq d$. This conjecture is known for $d&eq;2$; moreover it is easy to see that for any $d$ such a set has to have dimension $geq 1+ frac {d-1}2$. There are stronger bounds for every $d geq 3$ (see e.g. [@Wolff-Kakeya]). One can ask an analogous problem also over a finite field. To the surprise of many, the question of a finite fields has a complete solution by Dvir [@Dvir-Kakeya].
חומר חובה לקריאה:
יתכן שינתנו מטלות קריאה חובה תוך כדי הסמסטר
חומר לקריאה נוספת:
Bibliography
1. Titchmarsh, E.C.: The theory of the Riemann zeta-function. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York (1986)
2. Zagier, D.: Eisenstein series and the Riemann zeta function. In: Auto- morphic forms, representation theory and arithmetic (Bombay, 1979). pp. 275–301. Springer, Berlin-New York (1981)
3. Zagier, D.: Newman’s short proof of the prime number theorem. Amer. Math. Monthly. 104, 705–708 (1997). https://doi.org/10 .2307/2975232 2
4. Einsiedler, M., Katok, A., Lindenstrauss, E.: Invariant measures and the set of exceptions to Littlewood’s conjecture. Ann. of Math. (2). 164, 513–560 (2006)
5. Cassels, J.W.S., Swinnerton-Dyer, H.P.F.: On the product of three homogeneous linear forms and the indefinite ternary quadratic forms. Philos. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A. 248, 73–96 (1955)
6. Wolff, T.: Recent work connected with the Kakeya problem. In: Prospects in mathematics (Princeton, NJ, 1996). pp. 129–162. Amer. Math. Soc., Providence, RI (1999)
7. Dvir, Z.: On the size of kakeya sets in finite fields. Journal of the American Mathematical Society. 22, 1093–1097 (2009)
מרכיבי הציון הסופי :
הגשת עבודה מסכמת / פרויקט גמר / מטלת סיכום / רפרט % 100
מידע נוסף / הערות:
ינתנו תרגילים תוך כדי השנה שלא יבדקו, חלקם יכללו במבחן הבית שינתן בסוף הסמסטר
|
