Syllabus - אלגברה ליניארית (1) (80134)

מידע נוסף / הערות:
אלגברה ליניארית 1
תשע"ח
סילבוס
הסילבוס בנוי ברמת השיעור (2 ש"ש), אך ישנם שיעורים שיקחו רק שעה, וכנגדם אחרים עשויים לקחת 3-4 שעות.

I. משואות ליניאריות ומטריצות (3 שבועות &eq; 12 ש"ש)
1) מבוא לקורס (2 ש"ש).
2) מערכות של משואות ליניאריות מעל R ותכונותיהן היסודיות. דוגמאות (2 ש"ש).
3) המשמעות הגיאומטרית של מערכת משואות במימדים 2 ו-3 (2 ש"ש).
4) מטריצות, חיבור וכפל מטריצות. תכונות יסודיות. [לתרגיל: כפל בבלוקים]. הקשר למשואות, מטריצות אלמנטריות ותפקידן כפעולות אלמנטריות על משואות (2 ש"ש).
5) דירוג מטריצה ושיטת החילוץ של גאוס (2 ש"ש).
6) מטריצות הפכיות ופתרון מערכת משואות רגולרית n x n . מציאת ההפכי ע"י פתרון מערכות משואות (2 ש"ש).
ספרות: Hoffman-Kunze Ch.1, Jacob Ch.0 , עמיצור פרקים ד' ומעט מח'.
II. מרחבים וקטוריים (3 שבועות &eq; 12 ש"ש)
1) שדות. דוגמאות, שדות סופיים (2 ש"ש). [לתרגילים: שדה המרוכבים].
2) מרחבים וקטוריים. F^n, מרחב המשואות L^n, M_n(F), מרחבי פונקציות וסדרות אינסופיות, פולינומים. תתי מרחבים. דוגמאות: מרחב השורות ומרחב העמודות של מטריצה. (2 ש"ש).
3) פרוש וקבוצת יוצרים של תת-מרחב. תלות ליניארית, קבוצות בת"ל. (2 ש"ש).
4) למת ההחלפה, בסיס ( &eq; קבוצה בת"ל מקסימלית &eq; קבוצת יוצרים מינימלית) ומימד (2 ש"ש).
5) תאור דואלי של תתי מרחבים בעזרת יוצרים/משואות. סכום וחיתוך של תתי מרחבים ומימדיהם. סכום ישר של מ"ו, פנימי וחיצוני (2 ש"ש).
6) ישריות. דוגמאות במישור ובמרחב האוקלידי התלת מימדי. מרחב הפתרונות של מערכת הומוגנית וישריית הפתרונות של מערכת אי-הומוגנית (2 ש"ש). [לתרגיל: קודים מתקני שגיאה].
ספרות: Hoffman-Kunze Ch.2, Jacob Ch.1, עמיצור פרקים א' (מצומצם),קצת מב',ג'.
III. טרנספורמציות ליניאריות (3 שבועות &eq; 12 ש"ש)
1) טרנספורמציות ליניאריות, ייצוג במטריצה. סכום ישר ובלוקים. ט"ל לכסינות (2 ש"ש) .
2) טרנספורמציות במישור ובמרחב האוקלידי התלת מימדי. סיבובים, שיקופים, הטלות (2 ש"ש).
3) גרעין ותמונה, משפט המימד לט"ל. איזומורפיזם. דרגת עמודות של מטריצה (2 ש"ש).
4) ט"ל הפיכות &eq; מטריצות רגולריות, שינוי בסיס ודמיון מטריצות (2 ש"ש).
5) מערכות משואות מנקודת מבט של טרנספורמציות ליניאריות. משפט המימד למערכת משואות. דרגת שורות של מטריצה. מסקנות ממשפטי המימד: ד"ש &eq; ד"ע (2 ש"ש).
6) Hom(V,W) ו End(V) &eq; מרחבי מטריצות. הרכבת ט"ל &eq; כפל מטריצות, משפט ההתמדה של סילווסטר (?) (2 ש"ש).
ספרות: Hoffman-Kunze 3.1-3.4, Jacob 3.1-3.3, עמיצור פרקים ז' וח' 1-3,5
IV. דואליות (2 שבועות &eq; 8 ש"ש)
1) פונקציונלים ליניארים והמרחב הדואלי, גרעין של פ"ל &eq; על מישור, הזווג הקנוני &eq; כפל שורה בעמודה, בסיס דואלי (2 ש"ש).
2) רפלקסיביות (2 ש"ש).
3) מאפסים, ומשפטי מימד של מאפסים. (2 ש"ש).
4) הט"ל הדואלית, המטריצה המשוחלפת (2 ש"ש).
ספרות: Hoffman-Kunze, Ch. 3.5-3.7, Jacob 8.1 (!!), עמיצור פרק ו'.
V. דטרמיננטות (2 שבועות &eq; 8 ש"ש)
1) תמורות (2 ש"ש) [להקדים חלק מהחומר על תמורות בסדרת תרגילים]
2) דטרמיננטות2x2 בתור שטח מכוון של מקבילית. פונקציות נפח במרחב n–מימדי ויחידותן ע"כ סקלר (2 ש"ש).
3) דטרמיננטות, פיתוח לפי שורה ועמודה, מינורים, פיתוח בעזרת תמורות (2 ש"ש).
4) נוסחת קרמר. הנוסחה למטריצה הפכית בעזרת Adj(A) (2 ש"ש). [לתרגיל: אפיון דרגה של מטריצה לא ריבועית באמצעות מינורים ריבועיים, הוכחה חדשה לד"ע &eq; ד"ש]
ספרות: Hoffman-Kunze Ch. 5.2-5.4, Jacob Ch.2, עמיצור פרק ה'.